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sommaire
 
introduction  , mes sources  

quelques grandes classiques
 

quelques autres  
 
courbes d'équation polaire "bolygonisées" 
   
un peu d' "OP'tical ART"  
 
 
quelques exemples de programme  
 
vos remarques , commentaires :
 
 

 
 
 
 
 
 
 

introduction

Les courbes étudiées dans les pages qui suivent ont été d'abord retenues pour leur esthétique .

Il s'agit pour bon nombre d'entre elles de courbes "fondamentales" ou de base étudiées par de célèbres Mathématiciens ( Descartes , Newton , Bernouilli , Pascal , Archimède , Galilée ...) pour ne citer que les plus connus  qui ne diposaient à l'époque d'aucun outil informatique ...

Ces courbes ont été effectuées à l'aide d'un langage de programmation simple : le qbasic .

Pour la plupart , les programmes sont simples : quelques lignes et instructions seulement suffisent . On trouvera en annexe quelques exemples de ces programmes .
 
 

mes sources

Plusieurs ouvrages m'ont permis la réalisation d'une partie de ce document  .

Pour les courbes elles-mêmes :

Les courbes bolygonisées sont quant à elles le fruit d'une recherche plus personnelle .
 
 
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QUELQUES GRANDES CLASSIQUES
 
 
 

 
 
 
 
 
 astroïde
 
 
courbe d'équation paramétrique avec : 
  • x = r*cos(t)^3
  • y = r*sin(t)^3
  • t variant de -pi à + pi , pas de pi/100
 
wastroide 
 
 
 
cardioïde
 
courbe d'équation polaire où : 
  • x = r*cos(t)
  • y = r*sin(t)
  • t varie de -pi à +pi , pas de pi/100
  • r = a*(1+cos(t))
 
wcardioiderouge
 
cette courbe est un cas particulier du Limaçon de Pascal , son nom lui a été donné par Castillon (1741) .
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hypocycloïde à 3 points de rebroussement
 
 
courbe d'équation paramétrique avec : 
  • x = r*(2cos(t) + cos(t))
  • y = r*(2sin(t) - sin(2t)
 
 whypocycloa3
 
 
épis et noeuds
Il s'agit de courbes d'équations assez similaires .
 
 
cas des epis :
 
  • x = r* cos(t) 
  • y = r*sin(t)
  • r = 1 / sin(m*t)
 
cas des noeuds :
 
  • x = r*cos(t)
  • y = r*sin(t)
  • r = tan(m*t)
 
 

pour des valeurs assez singulières de m , on obtient des courbes d'aspect assez caractéristique.
 
 
 
 

wepi0
wnoeud0
m = 2 ^0.5
m = 1/k*2^0.5 et k = 1.75
wepi4c
wepi3c
variante colorée
m = 3^0.5/3
 
 
 
oignon de Gauss
 
 
 
courbe de coordonnées : 
  • y = k*exp(-0.2*x^2¨)
  • avec k variant de -1 à +1 , pas de 0.1
woignongc 
 
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Lissajous
 
 
 
courbe de coordonnées : 
  • x = a*sin(mt)
  • y = b*sin(nt)
  • avec ici : m=3^0.5/3 , n = 2^0.5/2
lissajous
 
 
 
Scarabée
 
 
 
courbe d'équation de type : 
  • x =a*sin(mt)
  • y = b*sin(nt)
  • avec ici :
  • a variant de 1 à 5 , b = -3
wscarabee 
 
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epi et hypocycloïdes
 
il s'agit de courbes d'équaion du type : avec cas epicycloïdes : r2<0
         cas des hypocycloïdes : r2>0
 
 
hypocycloïdes
epicycloïdes
whypo104
wepi10m4
r1 = 10 , r2 = 4
r1 = 10 , r2 = -4
whypo1035
wepi10m35
r1 =  10 , r2 = 3.5
r1 = 10 , r2 = -3.5
whypo101
wepi10m1
r1 = 10 , r2 = 1
r1 = 10 , r2 = -1
 
 
 
 
 

QUELQUES AUTRES
 

 
les napperons de dentelle
 
 
ces napperons sont obtenus aisément en reliant les n sommets d'un polygone aux n-1 sommets adjacents .
wnapperon20
 napperons variations...
 
wnapperon8
wnapperon12 
wnapperon18
wnapperon13
                                                                        n= 13 avec sa part de mystère
 
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8 parabols in a sqare
 
lorsque les droites deviennent ... courbes
 
 
w8parabase
 
w8parabol12 w8parabol16
 
 
 
curves in a circle
 
 quand les droites font la roue...
 
 
curvecircle3
curvecircle4
curvecircle6
curvecircle12
 
 
 
variations autour d'un cercle
 

de la toupie ...

 
circlepourcent
 
 
 
wellipsev
à la balle de cricket...
 
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les jolygones
 
 
les jolygones sont des courbes d'équation paramétrique de coordonnées de type :
  l'aspect des courbes obtenues est très variable suivant les valeurs données à k et à t.
 
 
k = 0.95 , t = 144°
k = 1 , t = 128°
wjoly1t144
wjoly1t128
k = 0.95 , t = 93°
k = 0.95 , t = 118°
jolyg1t93
wjol1t118
 
 
jolygones , suite
 
 
wjolyg1t118bleu
 
 
variations autour d'un cosinus
 
les courbes ci-dessous sont des courbes d'équation polaire c'est à dire du type : pour des valeurs judicieuses de m et n , les courbes obtenues sont de forme très spécifique .
 
 
m = 7/2 , n = 0
m = 7/4 , n = 0
 wdec138
wdec148 
m = 7/10 , n = 7/3
m = 5/2 , n =3
 wdec141
wdec137 
 
 
 

 

COURBES POLAIRES BOLYGONISEES
 
avant propos

les courbes bolygonisées et les courbes rayonnées sont de nature différente :

    cas de courbes rayonnées :

il s'agit de courbes (x,y) où l'on joint les différents points de coordonnées (x,y) au "centre" de la corbe , c'est à dire au point de coordonnée (x0,y0)

    cas des courbes bolygonisées :

 
il s'agit de courbes d'équation de type : où l'on joint le point de coordonées (x(n),y(n)) au point de coordonnées x(n+1),y(n+1) .
 
 
exemple de courbe de base
exemple de courbe de base
sin2tbase
sin2tbase
sin2trayonnée
sin2tbolygonisée
variante rayonnée
variante bolygonisée
 

 dans un souci de clarté  , la courbe de base a été superposée à celles des variantes .
 
 
autres exemples :
 
 

néphroïde
 
 
il s'agit d'une courbe d'équation paramétrique du type :  
courbe de base
variante bolygonisée avec k = 3
wnephroide
wbonephroide
 
 
 

COURBES POLAIRES BOLYGONISEES

comme il a été dit , il s'agit de courbes d'équation de type :

où l'on joint le point de coordonées (x(n),y(n)) au point de coordonnées x(n+1),y(n+1) .

on peut obtenir de belles courbes , tout l' "art" étant de trouver des valeurs judicieuses de k et de pas ...
 
 

ci-dessous quelques exemples de courbes obtenues .
 
 
 
 

 
 

bosin(3t)
 

dans le cas présent : 

  • r = sin(3*t)
  • k = 3
 
bosin3t
 
 
 
 
 
 
bo(t)  variations :
  • r = t
  • k = 1.5
 
wbot15
bo(t) variations suite :
  • r = t
  • k = 1.2
 
wbot12
 
 
 
 
 
astroïde bolygonisée
wboastro2
 
 
 
 
hypocycloïde bolygonisée
 
 
wbohypo
 
 
 
chapeau
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • r = cos(3t)
  • k = 3
 
wbocos3t
 
 
 
bifolium ou le poisson volant
variante bolygonisée du bifolum avec k = 2
 
 
wbobifol2
 
 
 
du poisson au bélier
 
 
 
poisson
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • r = cos(2*t))^0.5
  • k = 6
 
wboraccos
bélier
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • r = cos(3t)
  • k = 5
 
wbocos3t5
 
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un peu d' OP'ART
 
 
wopart
 
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quelques exemples de programme
 
 
 
hypocycloïde à 3 points de rebroussement
 
 
 
 
 
 
05  ' hypocycloïde
10   SCREEN 11
20   FOR t = -3.141593 TO 3.141593 STEP 0.003141593
30   x = 320 + 80 * (2*cos(t) + cos(2*t))
40   y = 220 + 80 * (2*sin(t) - sin(2*t))
50   PSET (x,y)
60   NEXT t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
épi
 
 
 
05 ' épi
10  SCREEN 11
20  FOR t = -15.707963 to 15.707963 STEP 0.003141593
30  a =1
40  m = (3)^0.5/2
50  r = 1/SIN(m*t)
60  x = 320 + 50*r*cos(t)
70  y = 200 + 50*r*sin(t)
80  PSET (x,y)
90  NEXT t

 
 
 
 
 

 bifolium bolygonisé
 
 05 ' bifolium bolygonisé
 10   SCREEN 11
 20   DIM x(100)
 30   DIM y(100)
 40   k = 2
 50   FOR t = -3.141593 TO 3.141593 STEP 0.3141593
 60   a=2
 70   b = 4
 80   r = (a*COS(t) +b*SIN(t)*(COS(t))^2
 90   x(n) = 200 + 100*r*COS(t)
100  y(n) = 200 + 100*r*SIN(t)
110  x(n+1) = 200 + 100*r*COS(k*t)
120  y(n+1) = 200 + 100*r*SIN(k*t)
130  LINE (x(n+1),y(n+1)) - (x(n),y(n))
140  PSET (x,y)
150  NEXT t
 
 
 
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